论“态”-I
时间: 2023-06-02 17:57:07 浏览次数:32
Phybi Physic group Math group Carridon University 导言 态(state)这个概念自量子诞生以来,到处泛滥. 但很少有人知道它是什么,也很说好有人探究它是什么. 它几乎是一个基本的概念,就像实体(entity),实在…

PhybiPhysic groupMath groupCarridon University

导言态(state)这个概念自量子诞生以来,到处泛滥. 但很少有人知道它是什么,也很说好有人探究它是什么. 它几乎是一个基本的概念,就像实体(entity),实在(reality),难以细究其人能正确妥当地使用. 然而,一个概念的意义如果没有明晰,就存在滥用乱用的后果——事实上,物理学中这种情况经常出现. 明晰态的概念,就是本文的任务.

2. 系统和态有些概念性的问题,必须首先厘清. 态是系统的态,所以我们要首先定义系统. 系统有很多种定义方式,比如系统作为研究对象,或者是很多子系统构成的整体等[1]. 事实上,二者都是可取的,只是适用的情形之侧重不同. 当我们忽略系统的内部结构,则采用前者;当我们主要考察系统的结构,则采用后者. 在本文中,我们采用前者. 但是,什么是研究对象?是一个物理或者抽象的实体,还是该实体的性质?

我们知道,物理或者抽象实体往往具有很多不同种类的性质. 如果将前者作为研究对象,势必对研究产生很大的复杂性——事实上也无此必要,科学总是尽可能地选取那些理想化的,简单的对象作为研究对象. 因此,我们将实体的某一种性质作为研究对象,即系统. 实体有很多不同种类的性质,因此,一个实体可以依此分为几个系统,即几个研究对象. 此外,如有必要,我们还可以研究同一个实体,不同系统(性质)之间的相互关联和作用. 比如电子的自旋系统和位形系统的纠缠.

至于同一个实体上的不同系统,我们还应该展开点细致的讨论. 如果这些系统是独立的,则实体的态,即是各个系统态的直积. 如果这些系统不独立,处理会麻烦些,也许我们可以用类似量子纠缠的纠缠态来描述实体. 此外,不同实体的同一类系统(性质),也通常会产生相互作用. 同样,不同实体的不同一类系统也可能发生相互作用,我们会在后面加以讨论.

现在我们定义系统的态. 一个最简单的方法是,系统的态是系统的完备描述. 数学地,我们将一组能够完全描述系统的数或含时的函数,定义为系统的态,简称系统态. 前者是某个时刻T0的态,我们称之为静态;后者是随时演化的态,我们称之为

动态. 某一个意义上,一个系统和它的态是等同的. 之所以做出区分,主要是描述和语法上的方便,系统是物理的,系统的态是数学的;系统是可命名的物理量比如自旋,而系统的态则由数学刻画,比如自旋态. 我们将所有可能系统态的集合,称为

系统态空间.3. 物理态和数学态为了说话的方便,我们区分和定义物理态和数学态. 如果态定义为系统完全的状态,我们称之为物理态. 物理态的数学形式即状态的representation. 这个数学形式,可能是一组数,函数或者矢量,能够完全或部分地表达想要研究的“系统”的物理态

,量力中的波函数就是基于如下假设,即特定的波函数(电子的位形波函数)能够完备地描述微观系统 (电子的位形性质),即波函数是完备的.物理态是现实,而数学态是其表征方式;物理态是ontic的,而数学态是epistemic的. 也就是说,前者是客观的,不变的,而后者是主观的,可变的

. 我们的任务是,找到用尽可能完备的数学态描述物理态. 一般地,我们找到的数学态,并不能完全描述物理态,我们称之为不完备,反之,我们说数学态是完备的. 由上述假设,物理态显然是完备的(这当然是废话),4. 态的完备性

一个实体的所有性质(系统),即为实体的态(实体态). 上述我们定义的是系统(性质)的态(系统态). 实体的态是所有其系统态的直积. 如果系统的所有性质能最大化地用各个系统的态,即实体的数学态得到描述,我们称这个实体的数学态是完备的. 同理,单个系统的性质能被该系统的数学态得到描述,我们称这个系统的数学态是完备的. 系统的数学态比观测到的性质更完备.(至少定义上如此)能确定所有性质的值(或者其分布);而性质,我们只能观测到部分,或者只需要部分,比态更不完备.

那么这里有个方法论,即如果实体被发现了新性质,原来所谓完备的态就可能会变成不完备,从而需要引入新参量将其完备化. 自旋的引入就是如此. 而一个数学态如果能描述已有的观测,还能预测新的观测,这样的态就是“超完备的”

. 能够完全描述现有观测的数学态称为“准完备的”. 如果一个态无法解释现有观测,则称为“不完备”,需要引入新的参数将其变成“准完备”.5. 离散态空间和连续态空间比如位形空间或者动量空间的态空间,就是一个连续态空间. 你可以将其看做一组连续的无穷多个波函数的集合;而离散的能级态空间,则是分立的离散态. 二者的区别,在于态空间的基是离散的/有限的,还是连续的/无限的.

6. 数学态的多元性数学态,我们定义为上述提到的物理态之数学表征. 那么系统真有确定的态吗?这是个深刻的根本性问题,是我们开展讨论的基本假设. 基于理论方法论的基本之一,我们假设系统是有确定的物理态的. 并基于此展开讨论.

数学是多元的,对系统的描述方式也是多元的,因此数学态也是多元的. 它们的等价性该如何描述?连续映射还是同胚同构之类? 显然,如果ψ(r,t)为系统的数学态,则任意单值函数f下的f(ψ(r,t))显然也是系统的数学态. 例如:上述波函数在动量表象下也是系统的数学态. 利用何种数学表征,可能对态的研究很关键. 那么我们如何选取数学表征呢?这取决于研究的方便.

我们举几个不同但等价的数学态的例子. 在量子力学中,比如波动力学,矩阵力学以及路径积分. 而在经典中,不同的广义坐标也是如此, 比如笛卡尔系和极坐标系.7. 叠加态及其意义“在量子力学中,态叠加原理,适用于态函数即概率幅,

而不是对粒子的坐标,动量,自旋等力学变量或者对概率本身叠加.”——《量子力学的基本概念》by 关洪当哈密顿量不显含时间时,薛定谔方程的特解为:

其中En和φn分别是定态薛定谔方程

的本征值和本函数. 按照态叠加原理,可以写出薛定谔方程的通解为:

对于态叠加原理,Dirac说的很好:“把一个态表示为一些其他态的叠加结果,这个过程是一个数学过程,它总是可以允许的,这一点不涉及任何物理条件,就像把一个波分解为一些傅里叶分量一样. 然而,在某一特定情况下,这种过程是否有用,就得由所研究的问题的特殊物理条件来决定了.”[2]

我们可以讨论量子态的线性叠加以及线性积分. 很期待一个统一的态理论. 但是量力和经典中之态体系完全不同:经典是用概率密度分布,而量力用的是概率幅. 为什么量力中用概率波分布?这主要是用实验和类比(经典波理论)套出来的. 事实证明It does work. 所以就一直用了,没人问为什么. 而笔者要问,而且想找出上述二者统一性. 这并不困难,因为你将所有经典中的概率密度,用波函数模方即可实现统一. 然而两种数学态的操作方式不同:后者概率幅相加,后者概率密度相加. 这种根本的不同,还能得到经典之量力极限近似,这是很令人匪夷所思的...

这是两大体系之间的相互作用,体系! 而不是概念之间. 量力有量力概念和关联;经典有经典概念和关联. 前者在h=0时 能够和后一致. 那么,态之间的叠加是什么回事?(连续的数学态是做积分)数学上,我们谈论加法和数乘,是一个再自然不过的事情. 然而其对应的物理意义需要探清. 经典上,即两个概率(密度)相加;量力上则是波函数相加(或两个量子态叠加)产生一个新的态. 后者数乘不会改变任何事情,或者就是一个恒等变换. 这和经典完全不同!我们已经假设两种体系中,数学态都完备地描述了系统. 显然,经典统计力学中,概率密度分布并不是一个准完备态,所有粒子的动量和位置的值才是一个准完备态. 而量子力学中,波函数则被假定是准完备的.所以二者没有可比性,这个精妙的问题先搁置.

8. 态的例子8.1 粒子的经典态众所周知,对于空间中某时刻单个的经典粒子,其运动状态(简称运动态)由两组数描述,位置和动量. 二者分别都是三个数. 通常位置和动量都在发生变化,所以粒子的动态是6个含时函数. 对于一个n粒子系统,其运动态为6n个含时函数.

8.2 波函数单个量子粒子的时空性质构成一个量子态,我们通常用波函数表征. 一般地,量子态等同于波函数,只有语义强调意义上的细微差别,为方便计,我们将它们视作一个概念. 波函数其为时空的函数,一般具有某种意义上的连续性.

已知一个量子系统的波函数,我们就能知道该量子系统的所有时空性质(尽管基于量子系统的本性,这种知晓只能是概率性的). 这也是为什么波函数有资格叫做量子态的原因. 当然,波函数的完备性还存在争议,然而不管如何,即使波函数不完备,我们补充那些额外的参数将其完备化,产生一个完备“波函数”即可. 这点我们不做深究,

本文中假设波函数是完备的,因而是量子态.量子态(波函数)的演化满足薛定谔方程,其意义为波恩诠释,即波函数粒子某时刻处在某点的概率幅. 它的模方即为粒子出现在该时刻该点的概率密度. 当然它也有表象的不同,即不同的representation;然而巧妙的是,表象不同波函数,表达的是一个东西. 比如ψ(r,t)和φ(p,t),描述的是同一个量子态,二者通过傅里叶变换联系.

8.3 自旋态自旋是粒子的内秉属性,它被自旋态完备地描述. 自旋态是一个二维矢量,一般地独立于时空波函数. 结合在位置波函数里面,对于电子而言其为:

和时空波函数的波恩诠释一样,特定自旋指向的指向自旋波函数之模方,为该电子在该指向下测量后出现在该指向的概率.

是自旋向上

,位置在r处的概率密度.

是自旋向下

,位置在r处的概率密度.而:

所以归一化条件为:

很多情况下,如Hamiltonian不含自旋分量,或可以表示为自旋变量部分和空间坐标部分之和(即H中的空间部分和自旋部分可分离).则波函数可以分离变量,即:

其中

是描述自旋态的波函数,其一般形式为

因此归一化条件为:

特别地Sz的本征态和本征和波函数为:

简记为

α,β构成自旋态的一组正交完备基,任何自旋态可由此展开为

则总的波函数为

8.4 偏振态光子的偏振态是一种特殊的自旋态,然而它和电子的自旋态物理效应还是不同.前者通过偏振片发生变化,后者在磁场中受力产坍缩. 磁场相当于偏振片?偏振片的选择性机理是什么?8.5 路径态量力入门的经典例子——电子双缝干涉实验的初等处理,就是将两条路径当做量子态,然后得到干涉项.

图1 单电子干涉这么做显然是不严格的,包括后继者的delayed choice之类. 两个路径怎么当做两个态?态——比如是某个时刻态,加入时间维度是什么意思?其实也没什么,任何一个时刻,两个路径都有一个波函数,然后将该时刻的波函数叠加即可. 但是这个事情要说清楚,不然概念是乱的. 那么问题来了不同时刻的波函数有无叠加的可能?这就涉及相对论了,我暂时不清楚. 还有一个问题是:路径积分怎么处理这个问题?这已经有文献报道了,我不做展开,似乎是路径的泛函. 综上所述,非要把路径当做态也未尝不可,但需要一些严格的附加说明.

8.6 同位旋态同位旋(Isospin),为与强相互作用相关的量子数. 海森堡为解释新发现中子的对称性而引入同位旋. 在同位旋空间中,质子和中子是同一种粒子——的两个态. 这里面还有对称性问题:同位旋反映自旋和宇称相同、质量相近而电荷数不同的几种粒子归属性质的量子数. 例如,中子和质子的同位旋相同,但是同位旋的第三分量I3不同,分别为-1/2和+1/2,且呈现对称. 同位旋拥有三个分量,在强相互作用中,同位旋守恒;在弱相互作用中,同位旋不守恒.

[3]对于强力相同而电荷不同的粒子,可以看作是相同粒子处在不同的电荷状态,我们用同位旋来描述这种状态. 同位旋并不是自旋,也不具有角动量的单位. 它是无量纲的一个物理量之所以叫做“同位旋”,只是因为其数学描述与自旋很类似. 类比自旋的概念引入抽象的同位旋空间,质子和中子是同位旋I相同,同位旋第3分量I3不同的两种状态. 由此可确定它们的同位旋I=1/2,质子的I3=1/2,。

中子的I3=-1/2,它们组成同位旋二重态,它们质量上的微小差异来自I3的不同,犹如自旋取向不同引起自旋-轨道耦合的微小能量差异同样Σ±、Σ0组成同位旋三重态,它们的同位旋I=1,同位旋第三分量I3分别为±1和0. 至于态和对称性,则是“论“态””-II的内容了.。

9. 态的演化量子态的演化,统一遵循薛定谔方程的形式:

其中最重要的是该量子态特定的哈密顿量. 哈密顿量决定了量子态的演化.先讨论位形空间的波函数,其哈密顿量的一般形式为:

我们再来看自旋态的演化,非相对论性自由粒子:

带电粒子:

其中:

,利用:

,得到:

其中,对于均匀磁场,取A=1/2B×r:

是电子轨道角动量带来的磁矩.如果考虑电子自旋,假设自由电子的H为:

(利用了:

)第二项可以化为:

其中:

μ为自旋s对应的磁矩,称为内秉磁矩. 内禀磁矩的大小,即Bohr磁子.

表示电子内禀磁矩和外场B的作用能.可知内禀磁矩的g因子比轨道磁矩的大一倍. 贴了半天公式,就为了是导了自旋和外磁场的相互作用能. 下面我们来求解一个自旋态的演化问题. 10. 自旋态的演化

提示:

与自旋无关

与空间无关,所以可以令:

关键是第二个方程,它帮助我们理解自旋态的演化. 显然它和空间波函数一样也是满足薛定谔方程的;其次,自旋波函数也有一个“Hamiltonian”,这个Hamiltonian是个矩阵

,是个specific的能量(数学形式).推广到其他形式的量子态,也有自己的specific的“Hamiltonian. 显然,如果无外场,自旋分量不演化,

也许需要将其展开,才能看到物理意义. 更一般的例子是:

上述问题成为一个偏微分方程组的问题. 我们之所以不厌其烦地列举上述算例,就是为了展示波函数作为数学态,是如何在量子力学中起作用的.

2020.08.11参考文献量子力学-I(第二版),曾谨言,科学出版社 1997量子力学的基本概念,关洪百度百科-同位旋https://baike.baidu.com/item/%E5%90%8C%E4%BD%8D%E6%97%8B/1233544?fr=aladdin

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